过单位圆外（2,5）割线中点轨迹方程

       介绍用轨迹性质法等介绍由圆x^2+y^2=1外一点p（2,5）引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

此时单位圆x^2+y^2=1与点(2，5)在同一坐标系示意图为。

根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，并根据在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，从而求出轨迹方程。

根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。

解:∵M（x,y）是AB的中点，所以OM⊥AB,点M的轨迹是以OP为直径的圆，圆心为(1,*5)，半径r=|op|，圆的方程为：

(x-1)2+(y-*5)2=[(2-0)2+(5-0)2],化简，得:

x2-2x+1+y2-5y+*52=*22+*52,即所求圆割线中点的轨迹方程为：x2+y2-2x-5y=0,其中：-1≤x≤1.

交点轨迹求法，将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M可看作直线OM与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。

方法四：参数求轨迹法

将动点坐标表示成某一中间变量即参数的函数，再设法消去参数。由于动点M(xi,yi)随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M的坐标是直线斜率的函数。

解：设过P点的割线方程为：y-5=k(x-2), 它与圆

x2+y2=R2的两个交点为A、B，AB的中点为M.解方程组:

y-5=k(x-2),

x2+y2=1

消去y得：x2+(kx-2k+5)2=1,即：

   (1+k2)x2-2k(2k-5)x+(5-2k)2-1=0,

yi[1+(xiyi)2]=5+2*xiyi,化简得：

yi(yi2+xi2)=5yi2+2xiyi

yi2+xi2=5yi+2xi,即所求的轨迹方程为：

x2+y2-2x-5y=0,其中：-1≤x≤1.

根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。这里由于中点M的坐标(x,y)与两交点A(x1,y1),B(x2,y2)通过中点公式联系起来，又点P、M、A、B构成4点共线，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。

解：设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则:

x1+x2=2x,y1+y2=2y，

∵x12+y12=1，x22+y22=1，两式减得：

(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y1+y2)=0,即：

y2-y1x2-x1 =-x2+x1y2+y1=-xy ；即为AB的斜率，

而AB对斜率又可表示为5-y2-x,即：

5-y2-x =-xy，化简得：

y(5-y)+x(2-x)=0,即所求轨迹方程为：

x2+y2-2x-5y=0,其中：-1≤x≤1.