设x,y,z是实数，求证：x^2+y^2+z^2>=x y+y z+z x。
这个问题，用初等数学的知识就可以很容易证明：
左边-右边=[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]/2>=0.
不过，还是要折腾一下Mathematica，看看Mathematica怎么证明这个不等式。
方法/步骤
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1
FullSimplify[x^2+y^2+z^2>=x y+y z+z x]
直接化简表达式，没效果。
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2
如果约定x、y、z都是实数，就会返回True，说明这个结论是对的。
FullSimplify[x^2+y^2+z^2>=x y+y z+z x,
Refine[Element[{x,y,z},Reals]]]
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3
用Mathematica对x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x进行配方，使之等于
(b*x+c*y+a*z)^2+(c*x+a*y+b*z)^2+(a*x+b*y+c*z)^2
只要求出a、b、c的值来，就行了。
f[x_,y_,z_]:=
(({a,b,c}.#&/@Table[RotateLeft[{x,y,z},n],{n,0,2}])^2//Total)
-(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x)
sol=Solve[f[0,0,1]==0&&f[1,0,0]==0&&f[0,1,0]==0&&f[1,1,1]==0&&f[1,2,3]==0,{a,b,c}]
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4
把a、b、c代入进去，得到配方式：
({a,b,c}.#&/@Table[RotateLeft[{x,y,z},n],{n,0,2}])^2/.sol[[1]]//Total
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5
由于b、c都是用a来表示的，只有2-3 a^2≥0，才能保证b和c都是实数。
所以a^2≤2/3。
代入一个合适的数字a=0，恰好得到本文开始的那个式子。
(({a,b,c}.#&/@Table[RotateLeft[{x,y,z},n],{n,0,2}])^2/.sol[[1]]//Total)/.a->0
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6
若是令a=Sqrt[1/3]，那么配方式就变成了：
(({a,b,c}.#&/@Table[RotateLeft[{x,y,z},n],{n,0,2}]/.sol[[1]])/.a->Sqrt[1/3]//FullSimplify)^2//Total
END
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