三次函数y=3x^3-6x^2的图像示意图画法步骤

       函数的定义域，根据函数特征，函数自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。

      定义域的定义为：设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

函数的单调性：通过函数的一阶导数，求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，并进一步求解得到函数的单调区间。

y=3x^3-6x^2

dy/dx=9x^2-12x=x(9x-12).

令dy/dx=0,则x1=0，x2=4/3；此时有：

(1)当x∈(-∞，0)，（4/3，+∞）时，dy/dx>0,

此时函数为增函数，两个区间为函数的增区间。

(2)当x∈[0，4/3]时，dy/dx≤0,

此时函数为减函数，两个区间为函数的减区间。

可知函数在x=x1=0处取得极大值，在x=x2=4/3处取得极小值。

      函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

通过函数的二阶导数，得函数的拐点，解析函数的凸凹区间。

dy/dx=9x^2-12x，

d^2y/dx^2=18x-12.

令d^2y/dx^2=0，则x3=2/3,且有：

(1)当x∈(-∞，2/3)时，d^2y/dx^2＜0，此时函数为凸函数，该区间为凸区间；

(2)当x∈[2/3，+∞)时，d^2y/dx^2≥0，此时函数为凹函数，该区间为凹区间。

如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。

判断函数在无穷大处的极限。

Lim(x→-∞) 3x^3-6x^2=-∞；

Lim(x→0) 3x^3-6x^2=0；

Lim(x→+∞) 3x^3-6x^2=+∞；

※.函数的奇偶性

∵f(x)=3x^3-6x^2，

∴f(-x)=3(-x)^3-6 (-x)^2=-3x^3-6x^2;

-f(x)=-3x^3+6x^2.

由于f(x)≠f(-x)，且f(x)≠-f(x),

所以函数既不是奇函数又不是偶函数。

函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。

例如，当x=0时，y=0,

当x=1时，y=3-6=-3；

当x=2时，y=3*2^3-6*2^2=24-24=0.

综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：

通过观察，其图像形状类似对钩“√”。更多函数性质，欢迎大家学习讨论。